Following ist wieder eine Präposition, die aus einem Verb abgeleitet werden kann: to follow = folgen. Die Präposition entspricht dann den deutschen Präpositionen nach, folgend.

Beispiele
Following your argumentation I would say that you are strongly against our plans.
Nach ihrer Argumentation würde ich sagen, sie sind stark gegen unsere Pläne.
He was thrilled by this story, but following ten hours of reading, he was tired.
Er war gefesselt von dieser Geschichte, aber nach 10 Stunden lesen war er müde.
Following the argument there was nothing more to say between the two of them.
Nach diesem Streit gab es nichts mehr zu sagen zwischen den beiden.